Моделирование социально-экономических процессов (1/1)

Практические задания (ПЗ) в ММУ по предмету Моделирование социально-экономических процессов (1/1)

Рекомендации к выполнению практических заданий

Учебным планом предусмотрено прохождение практических занятий по дисциплинам.
В рамках практических занятий студенты выполняют практические задания, следовательно, выполнение указанных заданий является обязательным для получения положительной оценки по дисциплине.

1. Задания рекомендуется выполнять в течение всего учебного семестра до окончания срока представления письменных (курсовых) работ (сроки см. в графике работы в семестре);
2. Выполнение заданий оформляется в письменном виде (текстовый файл с титульным листом (см. бланк титульного листа на странице дисциплины));
3. Файл необходимо загружать в соответствующий раздел дисциплины. По примеру курсовой работы.
4. Выполнение заданий оценивается преподавателем «Выполнено/Не выполнено» в течение всего семестра;
5. Возврат файла на доработку возможен только 1 раз в сроки загрузки письменных (курсовых) работ;
6. В практических заданиях выберите номер варианта с исходными данными. Решите задачи в word (excel), ответьте на вопросы.

Практические задания в ММУ постоянно меняют: если Ваше ПЗ отличается, пишите нам, скорее всего у нас есть уже новое!

Практическая работа №1

Регрессионный и корреляционный анализ
Регрессионный анализ исследует форму зависимости одной величины от
другой.
Регрессия – это зависимость математического ожидания одной случайной
величины от значений математического ожидания другой величины.
Аналитическая связь между значениями X и Y вида Y=f(X) наилучшим
образом описывающая зависимость Yi от Xi называется эмпирической
формулой. Поскольку на замеренные значения Xi и Yi оказывает влияние
множество неучтенных факторов, то функция Y=f(X) не должна проходить
точно через экспериментальные точки.
Идея регрессионного анализа
В качестве основного математического метода для определения уравнения
регрессии используется метод наименьших квадратов.
Коэффициенты уравнения регрессии определяются исходя из условия, что
сумма квадратов отклонений эмпирических значений f(Xi) от
экспериментальных значений Yi в узловых точках должна быть минимальной.

Наряду с понятием регрессии при рассмотрении связи между случайными переменными вводится понятие корреляции.
Корреляция в широком смысле подразумевает наличие связи между случайными переменными. Понятия регрессии и корреляции непосредственно связаны между собой. Если в регрессионном анализе исследуется форма связи между переменными, то в корреляционном анализе оценивается сила этой связи.
Задачи корреляционного анализа
1. Измерение степени связности двух и более переменных с помощью соответствующих статистических вычислений.
2. Отбор существенных факторов, выявленных в результате измерения степени связности между переменными.
3. Установление неизвестных причинных связей. Корреляция
непосредственно не устанавливает причинные связи, но позволяет
сделать вывод о степени необходимости их наличия. Причинный
характер связей устанавливает исследователь.
Линейная корреляция
Коэффициент парной корреляции

• Если модуль R близок к 1, то эта связь линейна, причем знак R определяет
знак коэффициента а.
• Если R>0, то а>0 и наоборот
• Если R<0, то а<0
• Если R близок к 0, то линейная связь отсутствует, но возможна нелинейная
связь, для установления которой требуются дополнительные исследования.
Мерой интенсивности связи при нелинейных соотношениях между
переменными служит индекс корреляции.
Индекс корреляции рассчитывается, когда выбрана конкретная нелинейная
зависимость между переменными, построена эта зависимость и по ней
определены теоретические значения результирующей переменной “ŷ”.
Расчетная формула для индекса корреляции имеет вид.

R позволяет сопоставить разброс теоретических «ŷ» и экспериментальных
«y» значений результирующей переменной относительно общего среднего
значения.
Диапазон изменения индекса корреляции -1≤R≤1.
Рассчитать значения коэффициента парной корреляции для линейной
зависимости, для степенной и экспоненциальной зависимости при тех
же исходных данных.
При расчете коэффициента парной корреляции для степенной и
экспоненциальной зависимостей надо использовать не х и у, как для
линейной зависимости, а LN(x) и LN(y), x и LN(y) соответственно.
Сравните R2, вычисленный Вами, и полученный через «Вставить линию
тренда».
Задание:
В виде точек дана зависимость потребительских расходов на душу населения У (Руб) от денежных доходов на душу населения Х(Руб).
Варианты контрольных заданий по
Темам «Регрессионный анализ и корреляционный анализ»
Таблица значений величинY(i) по вариантам
Значения величин X(i) одинаковы для всех вариантов
Значения вел X
№ варианта

Вопросы для проверки:
1. Запишите вид парной линейной регрессии. Дайте определение всем входящим в нее элементам.
2. В чем суть метода наименьших квадратов?
3. Дайте интерпретацию параметров b1 и b0 линейной модели. Покажите их графическое представление.
4. Что оценивает линейный коэффициент корреляции?
5. Приведите примеры нелинейных моделей по объясняющей переменной x.
6. Что понимается под линеаризацией нелинейной модели?
7. Каким показателем характеризуется теснота связи факторов для нелинейной модели? Каковы свойства этого показателя?

Практическая работа №2

Линейное программирование
Линейное программирование (англ. linear programming) − это набор
математических методов и приемов решения задачи оптимального
распределения имеющихся ограниченных ресурсов (денег, материалов,
времени и т.п.) для достижения определенной цели (максимума прибыли или
минимума издержек).
При планировании производства продукции на промышленном предприятии
кроме возможной прибыли от реализации единицы каждого вида продукции
необходимо учитывать его ресурсные ограничения, а именно:
• фонд машинного времени по каждому виду оборудования; фонд
рабочего времени, определяемый численностью персонала;
• фонд материальных ресурсов, которые может получить в планируемый
период предприятие от поставщиков по заключенным договорам.
• Модели многих задач планирования базируются на законах сохранения
(балансовых соотношениях) и эмпирических закономерностях
преобразования ресурсов в продукцию (производственных функциях).
Математически подобные модели представляются в виде систем m
линейных уравнений с n неизвестными, которые решаются с помощью
известных методов линейной алгебры (например, методом Гаусса).
Общая задача линейного программирования
Пример модели планирования производства
min
max

Целевая функция – максимум прибыли, расход и ресурсные ограничения по видам сырья
Выделяем ячейки для х1 и х2.
Задаем ограничения
2504,07,01506,03,0max3520212121++→+=xxxxxxL
Задаем целевую функцию.
Настраиваем «Поиск решения»
Решение найдено.
Ответ получен.
Задания:

Вопросы для проверки:
1. Назовите основные методы решения ЗЛП.
2. Поясните суть симплекс-метода решения ЗЛП.
3. Поясните суть графического решения ЗЛП.
4. Могут ли ответы в решении ЗЛП быть отрицательными и почему?
5. Какие ресурсные ограничения используются в задачах ЗЛП?

Практическая работа №3

Транспортная задача
К ЗЛП транспортного типа (кратко: транспортной задаче − ТЗ) приходят при рассмотрении различных практических ситуаций, связанных с составлением наиболее экономичного плана перевозок продукции, управления запасами, назначением персонала на рабочие места, оборотом наличного капитала и многими другими.
Цель ТЗ в изначальном виде − поиск самых низкозатратных схем транспортировки товарных запасов или поставок от многих поставщиков (пункты отправления) ко многим потребителям (пункты назначения).
Поставщиками могут быть фабрики, склады, отделы или другие места, из которых отправляются товары. Потребителями также могут быть фабрики, склады, отделы или любые другие места, которые получают товары.
Постановка задачи. Некоторый однородный товар (продукт, груз), находящийся у m поставщиков Ai в количестве ai единиц (i =1,2,…,m) необходимо доставить n потребителям Bj в количестве bj единиц ( j =1,2,…,n). Известна стоимость cij перевозки единицы товара от i -го поставщика к j -му потребителю. Необходимо составить план перевозки, имеющий минимальную стоимость.
Целевая функция –минимум затрат и ограничения по объемам поставок и потребления
Указываем тарифы на перевозку единицы товара от каждого поставщика к каждому потребителю.
Готовим массив объемов перевозок.
Вычисляем суммы по всем строкам.
Вычисляем суммы по каждому столбцу.
Указываем целевую функцию.
Настраиваем «Поиск решения»
Оптимальные объемы перевозок и минимальное значение целевой функции получены
Задания:
Определить оптимальный план перевозок с минимальными затратами для исходных данных, приведенных ниже.

Вопросы для проверки:
1. Какие задачи линейного программирования называются транспортными? 2. Каковы особенности математической модели транспортной задачи?
3. Какие транспортные задачи называются открытыми и закрытыми?
4. Могут ли объемы перевозок быть отрицательными?
5. В чем особенность целевой функции транспортной задачи?

Практическая работа 4

Прогнозирование цен фьючерсных контрактов на акции компании
Постановка задачи
Фьючерсный контракт – это биржевой контракт, относящийся к группе срочных контрактов, предметом которого могут выступать разнообразные активы (акции, облигации, банковские депозиты, валюта, сырье, товары, сами срочные контракты). Поставка актива предусматривается в будущем, через определенный срок по курсу, зафиксированному в момент заключения договора. С помощью фьючерсного контракта продавец и покупатель страхуются от рисков, связанных с неблагоприятным изменением цен.
Исследовать фондовый рынок и построить прогноз цены на акции компании на февраль будущего года.
Цель работы
1. Научиться строить прогноз цен активов фондового рынка.
2. Освоить методику анализа динамического ряда в табличном процессоре MS Excel.
3. Создать лабораторную модель.
Исходные данные для вычислений представлены в таблицах (8 – 22) по вариантам.
Методические рекомендации
Динамический ряд представляет собой совокупность последовательных значений некоторого показателя, характеризующих его изменения во времени [2, 3, 7, 8].
Понятие «тренд» характеризует определенную тенденцию к постепенному изменению показателя, описываемого динамическим рядом.
При анализе динамических рядов используется также понятие сезонности
(цикличности), характеризующее какие-либо периодические колебания данного ряда, и
понятие случайного отклонения под воздействием каких-либо случайных факторов.
В общем случае каждый член динамического ряда { tY }, где t существует в
интервале от 1 до T, может быть представлен в аддитивной форме, содержащей
несколько составляющих:
t t t t t t Y =U +V + E + Z + n (14)
где t U — тренд динамического ряда – регулярная компонента, характеризующая
общую тенденцию;
tV — сезонная компонента или внутригодичные колебания, а в общем случае –
циклическая составляющая;
t E — случайная компонента, образующаяся под влиянием различных неизвестных
причин;
t Z — компонента, обеспечивающая сопоставимость элементов динамического ряда;
t n — управляющая компонента, с помощью которой воздействуют на члены
динамического ряда с целью формирования в будущем его желаемой траектории
(управляемый прогноз).
Возможна также мультипликативная форма динамического ряда:
t t t t t t Y =U V  E  Z n (15)
Анализ динамического ряда обычно начинается по следующей схеме:
1. Члены динамического ряда корректируются специальной компонентой t Z , если
этого требуют условия сопоставления. Если ряд не требует корректировки, то считается,
что t Z =0.
2. Управляющая компонента t n принимается равной нулю.
3. Вычисляется регулярная компонента t U (тренд).
4. Определяется сезонная компонента t V .
5. Осуществляется оценка ошибки при вычислении t U и t V , то есть оценка
случайной составляющей.
Расчет компоненты t Z
Имеется временной ряд данных по месяцам за несколько лет. Примем, что в
каждом месяце 25 рабочих дней. Введем следующие обозначения:
tr — фактическое число рабочих дней в определенном месяце;
T — принятое количество рабочих дней в каждом месяце (T = 25);
tY — значение ряда в месяце t ;
1
tY — значение ряда, соответствующее 25 рабочим дням в месяце.
Компонента tZ может быть вычислена как
t
t
t t t t r
r T
Z Y Y Y
−
= − = 1 ;
Вычисление регулярной компоненты t U (тренда)
Известны несколько методов вычисления регулярной компоненты. К ним
относятся: механические способы сглаживания, аналитические методы с применением
определенных математических функций и, наконец, комбинированный способ.
Вычисление сезонной t V и случайной t E компонент
Для определения сезонной и случайной компонент вычисляется динамический ряд
t t t ( t t ) V + E = Y − U + Z , при tn =0.
Сезонная и случайная компоненты представляют собой составляющие временного
ряда, которые остаются после выделения из него тренда и выравнивающей компоненты,
при условии, что управляющая компонента равна нулю.
При разделении сезонной и случайной компонент обычно первой вычленяют
сезонную компоненту, а оставшуюся часть временного ряда относят к случайной
составляющей.
Среднесезонное значение может быть найдено как 
=
=
n
i
ср i V
n
V
1
1
.
Нахождение случайной составляющей t E
Временной ряд следует привести к сопоставимому виду, сезонную компоненту и
тренд необходимо отфильтровать и вычесть из значений t Y , управление t n должно
отсутствовать.
Алгоритм выполнения задания
1. Подготовить таблицу 3.1 исходных данных в соответствии с номером варианта.
2. Вычислить регулярную составляющую (тренд):
2.1. Рассчитать среднее значение для каждого года (столбца).
При работе в MS Excel используйте встроенную функцию
СРЗНАЧ(Диапазон). Например: СРЗНАЧ(B9:B20). Результаты свести в таблицу
3.2.
2.2. Построить график изменения средних значений объемов продаж.
Для этого: вызовите «Мастер диаграмм».
2.3. Щелкнуть правой кнопкой мыши по любой узловой точке на графике и
выбрать из выпадающего меню пункт «Вставить линию тренда».
2.4. Перебирать типы уравнений регрессии, указывая в параметрах флажки
«показывать уравнение на диаграмме» и «поместить на диаграмму…». Следует
выбрать уравнение регрессии, наиболее точно описывающее точки из таблицы 3.2.
2.5. Коэффициенты уравнения записать рядом с графиком.
3. Вычислить сезонную компоненту (волну):
3.1. Сформировать таблицу 3.3 вычитанием из таблицы 3.1
соответствующих среднегодовых значений таблицы 3.2.
3.2. Усреднить значения по каждому месяцу. В MS Excel воспользуйтесь
функцией СРЗНАЧ(Диапазон). Значения записать в таблицу 3.3 в соответствии с
месяцем в столбец «Средние».
3.3. С помощью «Мастер Диаграмм» построить график изменения средних
значений по месяцам.
3.4. Вставить линию тренда и подобрать тип регрессии, наилучшим образом
описывающий точки графика (например, полиномиальный).
3.5. Коэффициенты уравнения записать рядом с диаграммой.
4. Вычислить случайную составляющую.
Для этого сформировать таблицу 3.4 вычитанием из среднемесячного значения
(столбец «средние») всех значений таблицы 3.3 соответствующего месяца.
Найти минимальное (MIN) и максимальное (MAX) значение в таблице 3.4.
Случайную составляющую вычислить по формуле:
= MIN + СЛЧИС()  (MAX – MIN).
5. Используя полученную модель, сделать прогноз на февраль будущего года.
Для этого:
5.1. Вычислить тренд: в уравнение тренда (см. п.2.4) подставить в качестве аргумента значение 6 (будущий год).
5.2. Вычислить волну: в уравнение волны (см. п. 3.4) подставить в качестве аргумента значение 2 (февраль).
5.3. Суммировать значения тренда, волны и случайной составляющей.
6. Произвести анализ полученных результатов.
Варианты контрольных заданий
Вариант 1 Таблица 8

Вопросы для проверки
1. Объясните, в чем суть прогнозирования экономических процессов на основе метода динамических рядов?
2. Какие компоненты входят в состав динамического ряда?
3. Каким образом происходит расчет каждой из составляющих ряда?
4. Как оценить адекватность трендовой модели?
5. Почему рекомендуют автоматизировать работы по прогнозированию при разработке управленческих решений?

Практическая работа №5

Планирование эксперимента.
Полный факторный эксперимент.
Методические указания по выполнению лабораторной работы
План эксперимента 32. Табл.1.

Геометрическая интерпретация плана 32 показана на Рис. 2.
Рис.2. Геометрическая интерпретация плана 32.
Для эксперимента плана 32 модель записывается в виде:

Рассчитать линейную модель(b0, b1, b2), смешанную модель(+b12) и
нелинейную модель(+b11, b22).
Оценить адекватность модели и выбрать наиболее оптимальную можно,
вычислив суммы квадратов отклонений для всех моделей. Можно использовать
функцию СУММКВРАЗН().
1. Подготовить таблицу «Планирование двухфакторного эксперимента» для исходных данных и результатов.
2. Задать входные данные:
— исходные значения уровней измерения факторов ( Х1, Х2 );
— экспериментальные значения измерений ( Y эксп. );
3. Вычислить:
— матрицу планирования (Х1*Х2, Х1^2, Х2^2);
— параметры имитационных моделей для линейной, линейной со смешанными оценками и нелинейной зависимости
( А0, А1, А2, А12, А11, А22 ), используя формулы
СУММПРОИЗВ(Диапазон1;Диапазон2)/9;
— теоретические значения по вышеперечисленным моделям
(Y1 лин., Y2 лин.см., Y3 нелин.), используя в формулах адреса
ячеек коэффициентов и уровней факторов;
— суммы квадратов разностей теоретических и экспериментальных
значений для каждой модели (S1 лин., S2 лин.см., S3 нелин.),
используя формулу СУММКВРАЗН(Диапазон3;Диапазон4);
4. Подготовить таблицу “Данные для построения графика”, где указать уровни измерения факторов (Х1, Х2) и адреса ячеек соответствующих им экспериментальных значений Y эксп.
5. Построить диаграммы:
— «Эксперимент». Тип: поверхность. Данные взять из таблицы «Данные для построения графика».
— «Анализ моделей». Тип: график. Данные взять из таблицы «Планирование двухфакторного эксперимента»:
Y эксп., Y1 лин., Y2 лин.см., Y3 нелин.
6. Произвести анализ полученных результатов.
7. Сделать выбор наиболее адекватной модели.
Варианты контрольных заданий
Планирование эксперимента
Таблица экспериментальных значений Y(i) по вариантам
ЭКСП. Y

Вопросы для проверки
1. Как рассчитать число серий эксперимента N?
2. Чем отличается линейная модель, нелинейная модель и линейная модель со смешанными оценками?
3. Как оценить адекватность моделей?

Практическая работа №6

Теория массового обслуживания
Наряду с другими экономико-математическими методами используется теория массового обслуживания.
Она применяется, в частности, в розничной торговле при анализе количества обслуживаемых покупателей и продолжительности их обслуживания (при условии высокого качества их обслуживания).
На эти показатели оказывают влияние различные факторы (переменные величины). Они взаимодействуют между собой в условиях процесса обслуживания покупателей, носящего стохастический характер.
На основе теории массового обслуживания выбирается оптимальный вариант организации торгового обслуживания населения, обеспечивающий минимальное время обслуживания при минимизации затрат и высоком качестве обслуживания населения.
При всем своём разнообразии процессы в системах массового обслуживания имеют общие черты:
Требование на обслуживание не регулярно (случайно) поступает на канал обслуживания и в зависимости от его занятости, продолжительности обслуживания образуют очередь требований.
Предметом исследования теории массового обслуживания являются вероятностные модели физических систем обслуживания, в которых случайные и не случайные моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеются устройства на обработку данных заявок.
Задания:
Выполнить вычисления для задачи из приведенного выше примера со
следующими исходными данными:
Вариант λ tоб
1 0,6 0,8
2 1,3 1
3 0,9 1,2
4 0,7 1,8
5 1 2
Вопросы для проверки:
1. Охарактеризуйте системы массового обслуживания.
2. Как рассчитать вероятность отказа?
3. Как рассчитать пропускную способность системы?