Практические задания (ПЗ) в ММУ по предмету Математические методы в психологии (1/1)
Рекомендации к выполнению практических заданий
Учебным планом предусмотрено прохождение практических занятий по дисциплинам.
В рамках практических занятий студенты выполняют практические задания, следовательно, выполнение указанных заданий является обязательным для получения положительной оценки по дисциплине.
1. Задания рекомендуется выполнять в течение всего учебного семестра до окончания срока представления письменных (курсовых) работ (сроки см. в графике работы в семестре);2. Выполнение заданий оформляется в письменном виде (текстовый файл с титульным листом (см. бланк титульного листа на странице дисциплины));3. Файл необходимо загружать в соответствующий раздел дисциплины. По примеру курсовой работы.4. Выполнение заданий оценивается преподавателем «Выполнено/Не выполнено» в течение всего семестра;5. Возврат файла на доработку возможен только 1 раз в сроки загрузки письменных (курсовых) работ;6. Порядок выполнения практической работы: необходимо решить по две любые задачи из каждой практической работы (файл — Задачи к практическим работам. Практические Занятия 1 и 2 представлены как примеры решения задач.
Практические задания в ММУ постоянно меняют: если Ваше ПЗ отличается, пишите нам, скорее всего у нас есть уже новое!
Задания к практической работе 1.
Определение числовых характеристик.
Задание 1.
Проведено выборочное обследование частных психологических кабинетов города. Имеются следующие данные о величине посещаемости для 50 кабинетов города (xi – количество клиентов в месяц, млн. руб.; ni – число кабинетов).
xi
30-80
80-130
130-180
180-230
230-280
280-330
ni
15
13
7
5
3
2
Найти:
а) среднее X, среднеквадратичное отклонение S и коэффициент V;
б) построить гистограмму и полигон частот.
Задание 2.
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n . Найти среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, исправленную дисперсию, коэффициент вариации, моду и медиану.
xi
9,5
10
10,5
11
11,5
12
12,5
ni
3
15
30
15
5
4
2
Задание 3.
Дан следующий вариационный ряд:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
2
2
3
3
5
5
5
6
6
6
Требуется:
1) Построить полигон распределения
2) Вычислить выборочную среднюю, дисперсию, моду, медиану.
Задание 4.
Дана выборка: 5,15,15,10,20,20,5,10,20,15. Требуется:
а) Построить статистический ряд распределения частот и полигон частот;
б) Построить вариационный ряд;
в) Найти оценки математического ожидания и дисперсии;
г) Найти выборочные моду, медиану, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии.
Задания к практической работе 2.
Статистическая обработка данных.
Задание 1.
У 24 девушек – студентов физического и психологического факультетов был измерен уровень вербального интеллекта по методике Векслера. Можно ли утверждать, что одна из групп превосходит другую по уровню вербального интеллекта?
Физики: 123, 134, 126, 131, 134, 132, 126, 132, 127, 127, 136, 133, 136, 135,
Психологи: 123, 125, 132, 120, 127, 126, 120, 126, 120, 119,
Задание 2.
Были протестированы две группы студентов. Тест содержал 60 вопросов. Указано число правильных ответов каждого участника теста.
Можно ли утверждать, что одна из групп превзошла другую группу по результатам теста?
Группа 1: 55, 45, 42, 40
Группа 2: 46, 41, 38, 35, 34
Задание 3.
Психолог просит супругов проранжировать девять личностных черт, имеющих определяющее значение для семейного благополучия. Задача заключается в том, чтобы определить, в какой степени совпадают оценки супругов по отношению к ранжируемым качествам. Заполните таблицу и, посчитав коэффициент ранговой корреляции Спирмена, ответьте на поставленный вопрос.
Черты личности
№
Муж
Жена
Ответственность
1
Общительность
2
Сдержанность
3
Выносливость
4
Жизнерадостность
5
Терпеливость
6
Решительность
7
Оптимизм
8
Надежность
9
Практическая работа 1. Определение числовых характеристик.
Задание 1.
Проведено выборочное обследование частных психологических кабинетов города. Имеются следующие данные о величине посещаемости для 50 кабинетов города (xi – количество клиентов в месяц, млн. руб.; ni – число кабинетов).
xi
25-75
75-125
125-175
175-225
225-275
275-325
ni
12
15
9
7
4
3
Найти:
а) среднее X, среднеквадратичное отклонение S и коэффициент V;
б) построить гистограмму и полигон частот.
Решение:
Перейдем к простому вариационному ряду, выбирая в качестве значений середины интервалов. Получим:
xi
50
100
150
200
250
300
ni
12
15
9
7
4
3
Найдем необходимые числовые характеристики на основе последовательных расчетов:
xi
50
100
150
200
250
300
ni
12
15
9
7
4
3
50
xini
600
1500
1350
1400
1000
900
6750
(xi-X)2 * ni
86700
18375
2025
29575
52900
81675
271250
Среднее: X = (1/n) * (xini) = (1/50) * 6750 = 135
Дисперсия: S2 = (1/n) * ((xi — X)2 * ni) = (1/50) * 271250 = 5425
Среднеквадратичное отклонение: S = S2 73,655
Коэффициент вариации:
V = (S/X) * 100% = (73,655/135) * 100% = 54,56%
Рис.1. Гистограмма и полигон частот.
Задание 2.
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n . Найти среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, исправленную дисперсию, коэффициент вариации, моду и медиану.
xi
10,5
11
11,5
12
12,5
13
13,5
ni
2
18
40
25
6
5
4
Решение:
Составим таблицу значений.
xi
10,5
11
11,5
12
12,5
13
13,5
ni
2
18
40
25
6
5
4
100
xini
21
198
460
300
75
65
54
1173
(xi-X)2 * ni
3,0258
9,5922
2,116
1,8225
3,5574
8,0645
12,532
40,71
Среднее значение X = (1/n) * xini = (1/100) * 1173 = 11,73
Дисперсия D = (1/n) * ((xi-X)2 * ni) = (1/100) * 40,71
Исправленная дисперсия S2 = n/(n-1) * D = 100/99 * 0,4071 0,411
Среднеквадратичное отклонение = D = 0,638
Исправленное среднеквадратичное отклонение S = 0,641
Коэффициент вариации V = /X * 100% = 0,638/11,73*100% = 5,44%
Мода – величина с наибольшей частотой Мо = 11,5
Медиана — величина, находящаяся в середине ряда Ме = 12
Задание 3.
Дан следующий вариационный ряд:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
1
1
2
2
4
4
4
5
5
5
Требуется:
1) Построить полигон распределения
2) Вычислить выборочную среднюю, дисперсию, моду, медиану.
Решение: В задании дана выборка объема n = 10. Полигон распределения – это зависимость абсолютной частоты варианта ni от значения варианта xi. Эту зависимость можно представить в виде таблицы:
xi
1
2
4
5
ni
2
2
3
3
Рис.2. График полигона частот.
Вычислим выборочную среднюю, дисперсию, моду, медиану.
Выборочная средняя:
X = (1/n) * xini = (1/10)*(1*2+2*2+4*3+5*3) = 33/10 = 3,3
Выборочная дисперсия:
D = (1/n) * xi2ni — X2 = (1/10)*(1*2+4*2+16*3+25*3) — 3,32 = 2,41
Выборочное среднеквадратичное отклонение: = D = 2,411,552.
Мода равна варианту с наибольшей частотой: 4;5 (две моды)
Медиана равна среднему варианту выборки: 4.
Задание 4.
Дана выборка: 10,20,20,5,15,20,5,10,20,5. Требуется:
а) Построить статистический ряд распределения частот и полигон частот;
б) Построить вариационный ряд;
в) Найти оценки математического ожидания и дисперсии;
г) Найти выборочные моду, медиану, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии.
Решение:
Упорядочим значения по возрастанию.
5
5
5
10
10
15
20
20
20
20
Найдем количество вхождений каждого значения, получим ряд распределения частот, по которому построим полигон частот.
xi
5
10
15
20
ni
3
2
1
4
Промежуточные вычисления:
xi
ni
xini
(xi-X)2 * ni
(xi-X)3 * ni
5
3
15
192
-1536
10
2
20
18
-54
15
1
15
4
8
20
4
80
196
1372
10
130
410
-210
Найдем выборочное среднее: X = (1/n) * xini = (1/10)*130 = 13
Найдем исправленную дисперсию (несмещенную оценку для дисперсии по выборке): S2 = (1/n-1) * (xi-X)2ni = (1/9)*410 45,556
Исправленное среднеквадратичное отклонение: S 6,749
Мода – значение с наибольшей частотой: Мо = 20 .
Медиана – значение в середине ряда, в данном случае среднее арифметическое двух серединных значений: Ме = (10+15)/2 = 12,5
Коэффициент вариации: V = (S/X)*100% = (6,749/13)*100% 51,92%
Коэффициент асимметрии:
As = [ (1/n) * (xi-X)2ni ]/s3 = -21/6,7493 -0,068
Практическая работа 2. Статистическая обработка данных.
Задание 1.
У 26 юношей – студентов физического и психологического факультетов был измерен уровень вербального интеллекта по методике Векслера. Можно ли утверждать, что одна из групп превосходит другую по уровню вербального интеллекта?
Физики: 132, 134, 124, 132, 135, 132, 131, 132, 121, 127, 136, 129, 136, 136
Психологи: 126, 127, 132, 120, 119, 126, 120, 123, 120, 116, 123, 115
Решение:
Используем критерий Q Розенбаума. Упорядочим значения в обеих выборках, а затем сформулируем гипотезы:
H0: Студенты-физики не превосходят студентов-психологов по уровню вербального интеллекта.
H1: Студенты-физики превосходят студентов-психологов по уровню
вербального интеллекта.
Физики
Психологи
136
136
136
136
135
134
132
132
132
132
132
131
129
127
127
126
124
123
123
121
S2
120
120
120
119
116
115
Определяем количество значений первого ряда, которые больше
максимального значения второго ряда: S1=0.
Теперь определяем количество значений второго ряда, которые
меньше минимального значения первого ряда: S2=6.
Вычисляем QЭМП по формуле: QЭМП = S1+S2 = 0+6 = 6.
Определяем критические значения Q для n1=14, n2=12.
Qкр = 7 при p 0,05;
Qкр = 9 при p 0,01.
Ясно, что чем больше расхождения между выборками, тем больше
величина Q.
Н0 отклоняется при Qэмп > Qкp , а при Qэмп < Qкp мы будем
вынуждены принять Н0.
Построим «ось значимости».
Ответ: Принимается H0. Студенты-физики не превосходят
студентов-психологов по уровню вербального интеллекта (р<0,05).
Задание 2.
Были протестированы две группы студентов. Тест содержал 50 вопросов. Указано число правильных ответов каждого участника теста.
Можно ли утверждать, что одна из групп превзошла другую группу по результатам теста?
Группа 1: 45, 40, 44, 38
Группа 2: 44, 43, 40, 37, 36
Решение:
Используем критерий U — критерий Манна-Уитни.
Гипотезы:
Н0: Уровень признака в группе 2 не ниже уровня в группе 1.
H1: Уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.
Соблюдены ограничения критерия U:
1. В каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений: n1,n2≥3; допускается, чтобы в одной выборке было 2 наблюдения, но тогда во второй их должно быть не менее 5.
2. В каждой выборке должно быть не более 60 наблюдений; n1,n2≤60. Однако уже при n1,n2>20 ранжирование становится достаточно трудоемким.
Ранжируем наблюдения:
Меньшему значению начисляется меньший ранг. Наименьшему значению начисляется ранг 1. Наибольшему значению начисляется ранг, соответствующий количеству ранжируемых значений.
Количество ранжируемых значений = 4 + 5 = 9.
Минимум 36 – ранг 1. Максимум 45 – ранг 9.
Если несколько значений равны, им начисляется ранг, представляющий собой среднее значение из тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны.
Группа 1
Ранг
Группа 2
Ранг
45
9
44
7,5
44
7,5
43
6
40
4,5
40
4,5
38
3
37
2
36
1
Сумма
24
сумма
21
Общая сумма = 9*(9+1)/2 = 45 = 24 + 21
Мы видим, что по уровню невербального интеллекта более «высоким» рядом оказывается выборка группы 1. Именно на эту выборку приходится большая ранговая сумма: 24.
Теперь мы готовы сформулировать гипотезы:
H0: Группа 1 не превосходит группу 2 по результатам теста.
Н1: Группа 1 превосходит группу 2 по результатам теста.
Определить значение U по формуле: U = (n1*n2) + nx(nx+1)/2 – Tx
где n1 — количество испытуемых в группе 1; n2 — количество испытуемых в группе 2; Тх — большая из двух ранговых сумм; nх — количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.
Определяем эмпирическую величину U:
UЭМП = (4*5)+4(4+1)/2 – 24 = 6
Определяем критические значения для n1=4, n2=5.
Uкр = 2 при p 0,05;
Uкр = 0 при p 0,01.
6 больше и 2 и 0, Uэмп > Uкp.
H0 принимается.
Ответ: Группа 1 не превосходит группу 2 по результатам теста.
Задание 3.
Психолог просит супругов проранжировать семь личностных черт, имеющих определяющее значение для семейного благополучия. Задача заключается в том, чтобы определить, в какой степени совпадают оценки супругов по отношению к ранжируемым качествам. Заполните таблицу и, посчитав коэффициент ранговой корреляции Спирмена, ответьте на поставленный вопрос.
Черты личности
№
Муж
Жена
Ответственность
1
Общительность
2
Сдержанность
3
Выносливость
4
Жизнерадостность
5
Терпеливость
6
Решительность
7
Решение:
Заполняем таблицу. Далее, рассчитываем коэффициент ранговой корреляции Спирмена и составляем расчетную таблицу.
№
1
2
3
4
5
6
7
Ранг X, dx
2
3
4
6
5
1
7
28
Ранг Y, dy
2
5
1
7
6
3
4
28
(dx-dy)2
0
4
9
1
1
4
9
28
Вычисляем коэффициент ранговой корреляции Спирмена.
p = 1 – 6 * ( (d2) / (n3 — n) ) = 1 – 6 * ( (28) / (73 — 7) ) = 0,5
Ответ:
Согласованность между мнениями супругов прямая, но умеренная.
Задание 4.
В двух пятых классах проводилось тестирование умственного развития по тесту ТУРМШ десяти учащихся. Есть ли различия в степени однородности показателей умственного развития между классами?
1 класс: 82, 30, 45, 74, 87, 55, 37, 42, 76, 83
2 класс: 41, 48, 57, 64, 73, 66, 62, 87, 75, 66
Решение:
Гипотезы:
Н0: нет различий в степени однородности показателей умственного развития между классами;
Н1: есть различия в степени однородности показателей умственного развития между классами.
Используем тест Фишера. Находим средние и дисперсии по классам.
№
1 класс
2 класс
квадр.отклонение
1 класс
квадр.отклонение
2 класс
1
82
41
436,81
524,41
2
30
48
967,21
252,81
3
45
57
259,21
47,61
4
74
64
166,41
0,01
5
87
73
670,81
82,81
6
55
66
37,21
4,41
7
37
62
580,81
3,61
8
42
87
364,81
533,61
9
76
75
222,01
123,21
10
83
66
479,61
4,41
Сумма
611
639
4184,9
1576,9
Среднее
61,1
63,9
418,49
157,69
Как видим, средние значения практически идентичны (61,1 ≈ 63,9).
Определим равенство дисперсий:
Fэмп = 418,49/157,69 = 2,65
df = 10 – 1 = 9;
Fкр = 3,18 при p 0,05;
Fкр = 5,35 при p 0,01.
Построим «ось значимости».
Согласно полученному результату FЭМП попало в зону незначимости, следовательно, принимается нулевая гипотеза о том, что дисперсии в обоих классах одинаковы, т.е. различия не выявлены.
Ответ: Различия в степени однородности показателей умственного развития между классами не выявлены.
